Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为s_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）数列{b_n}的通项公式为bn=

sn

n+c

，若{b_n}也是等差数列，求非零常数c的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为s_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14，我们构造出关于首项和公差的方程，解方程求出首项和公差，即可得到数列{a_n}的通项公式．
（2）根据（1）的结论，可得到s_n的表达式，再根据bn=

sn

n+c

，可得数列{b_n}的前3项，根据{b_n}也是等差数列，构造关于b的方程，即可求出非零常数c的值．

解答：解：（1）{a_n}为等差数列，所以a₁+a₄=a₂+a₃=14，
又a₂a₃=45，所以a₂，a₃是方程x²-14x+45=0的两实根，公差d＞0，
∴a₂＜a₃∴a₂=5，a₃=9
∴

a1+d=5 a1+2d=9

⇒

a1=1 d=4

所以a_n=4n-3
（2）由（1）知s_n=2n²-n，
所以bn=

sn

n+c

=

2n2-n

n+c

∴b1=

1

1+c

，b2=

6

2+c

，b3=

15

3+c

又{b_n}也是等差数列，∴b₁+b₃=2b₂
即 2•

6

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，解得c=-

1

2

或c=0（舍去）
∴b_n=2n是等差数列，故c=-

1

2

点评：本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中求等差数列的通项公式时，根据已知构造出关于首项和公差的方程，是最常用的办法．