Question

在△AOB中，已知

OA

=

a

，

OB

=

b

，

a

•

b

=|

a

-

b

|=2，当△AOB的面积最大时，求

a

与

b

的夹角θ．

Answer 1

分析：由条件可得|

a

|2+|

b

|2=8，cosθ=

2

| a || b |

，由此化简△AOB的面积为

1

2

-(| a |2-4)2+12

，可得当|

a

|2=4时，S_△AOB最大．此时|

b

|2=4，cosθ=

2

2×2

=

1

2

，从而得到θ的值．

解答：解：设∠AOB=θ，∵

a

•

b

=2，|

a

-

b

|=2，∴|

a

|2+|

b

|2-2

a

•

b

=4，即 |

a

|2+|

b

|2=8…（8分）
又∵

a

•

b

=2，∴|

a

||

b

|cosθ=2，cosθ=

2

| a || b |

…（6分）
∴S△AOB=

1

2

|

a

||

b

|sinθ=

1

2

|

a

||

b

|

1-( 2 | a || b | )2

=

1

2

| a |2| b |2(1- 4 | a |2| b |2 )

=

1

2

| a |2| b |2-4

=

1

2

| a |2(8-| a |2)-4

=

1

2

-| a |4+8| a |2-4

 
=

1

2

-(| a |2-4)2+12

  …（10分）
∴当|

a

|2=4时，S_△AOB最大．此时|

b

|2=4，cosθ=

2

2×2

=

1

2

，
即有 θ=

π

3

…（12分）
因此，△AOB面积最大时，

a

与

b

的夹角为

π

3

…（13分）

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，向量在几何中的应用，式子的变形是解题的关键．