Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），离心率为 ，两焦点分别为F1、F2 ， 过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题得： ，4a=8，所以a=2，

又b2=a2﹣c2，所以b=1即椭圆C的方程为

（2）解：由题意知，|m|≥1．

当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为 ，

此时 ； 当m=﹣1时，同理可得

当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x﹣m），（k≠0）

由

设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

则△=64k4m2﹣16（1+4k2）（4k2m2﹣4）=48k2＞0

又由l与圆 ．得

所以 = = 因为|m|≥1所以 ，

且当 时，|AB|=2，

由于当m=±1时， ，所以|AB|的最大值为2

【解析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．