Question

（2013•重庆）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=

π

3

，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，-3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=2

3

，从而得到

PA

=（0，0，-2

3

），可得PA的长为2

3

；
（II）由（I）的计算，得

AD

=（-

3

，3，0），

AB

=（

3

，3，0），

AF

=（0，2，

3

）．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出

m

=（3，

3

，-2）和

n

=（3，-

3

，2）分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出

m

、

n

夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．．

解答：解：（I）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则OC=CDcos

π

3

=1，而AC=4，可得AO=AC-OC=3．
又∵OD=CDsin

π

3

=

3

，
∴可得A（0，-3，0），B（

3

，0，0），C（0，1，0），D（-

3

，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，-3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，-1，

z

2

），由此可得

AF

=（0，2，

z

2

），
∵

PB

=（

3

，3，-z），且AF⊥PB，
∴

AF

•

PB

=6-

1

2

z2=0，解之得z=2

3

（舍负）
因此，

PA

=（0，0，-2

3

），可得PA的长为2

3

；
（II）由（I）知

AD

=（-

3

，3，0），

AB

=（

3

，3，0），

AF

=（0，2，

3

），
设平面FAD的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），平面FAB的法向量为

n

=（x₂，y₂，z₂），
∵

m

•

AD

=0且

m

•

AF

=0，∴

- 3 x1+3y1=0 2y1+ 3 z1=0

，取y₁=

3

得

m

=（3，

3

，-2），
同理，由

n

•

AB

=0且

n

•

AF

=0，解出

n

=（3，-

3

，2），
∴向量

m

、

n

的夹角余弦值为cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

3×3+ 3 ×(- 3 )+(-2)×2

9+3+4 • 9+3+4

=

1

8

因此，二面角B-AF-D的正弦值等于

1-( 1 8 )2

=

3 7

8

点评：本题在三棱锥中求线段PA的长度，并求平面与平面所成角的正弦值．着重考查了空间线面垂直的判定与性质，考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识，属于中档题．