Question

已知函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在x=

1

2

处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直．
（1）求实数a、b的值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤（m-2）x-

m

x

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

a

x

+b，从而可得f′（

1

2

）=2a+b=0，f′（1）=-1；从而求得．
（2）不等式f（x）≤（m-2）x-

m

x

可化为lnx≤mx-

m

x

；即lnx≤m（x-

1

x

）；再求导可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx+bx，
∴f′（x）=

a

x

+b；
∵函数f（x）=alnx+bx（a，b∈R）在x=

1

2

处取得极值，
f′（

1

2

）=2a+b=0；
又∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，
∴f′（1）=-1；
即f′（1）=a+b=-1；
解得，a=1，b=-2；
（2）不等式f（x）≤（m-2）x-

m

x

可化为
lnx≤mx-

m

x

；
即lnx≤m（x-

1

x

）；
当x=1时，恒成立；
当x＞1时，m≥

lnx

x- 1 x

=

xlnx

x2-1

；
令h（x）=

xlnx

x2-1

，
h′（x）=

(lnx+1)(x2-1)-2x•xlnx

(x2-1)2

=

x2-x2lnx-lnx-1

(x2-1)2

；
令m（x）=x²-x²lnx-lnx-1，m′（x）=2x-2xlnx-x-

1

x

=

x2-2x2lnx-1

x

；
令n（x）=x²-2x²lnx-1，n′（x）=2x-4xlnx-2x=-4xlnx＜0；
故n（x）=x²-2x²lnx-1在（1，+∞）上是减函数，
n（x）＜n（1）=0；
故m′（x）＜0；
故m（x）=x²-x²lnx-lnx-1在（1，+∞）上是减函数，
故m（x）＜m（1）=0；
故h′（x）＜0；
故h（x）=

xlnx

x2-1

在（1，+∞）上是减函数，

lim

x→1

xlnx

x2-1

=

lim

x→1

lnx+1

2x

=

1

2

；
故m≥

1

2

．
故实数m的取值范围为[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，属于中档题．