Question

在下列函数中，最小值是2的是（　　）

• A．y=

  x

  5

  +

  5

  x

• B．y=lgx+

  1

  lgx

  (1＜x＜10)
• C．y=3^x+3^-x（x∈R）
• D．y=sinx+

  1

  sinx

  (0＜x＜

  π

  2

  ）

Answer 1

分析：利用均值定理求函数最值需要满足三个条件即一“正”，二“定”，三“等号”，选项A不满足条件一“正”；选项B、D不满足条件三“等号”，即等号成立的条件不具备，而选项C三个条件都具备

解答：解：当x＜0时，y=

x

5

+

5

x

＜0，排除A，
∵lgx=

1

lgx

在1＜x＜10无解，∴y=lgx+

1

lgx

(1＜x＜10)大于2，但不能等于2，排除B
∵sinx=

1

sinx

在0＜x＜

π

2

上无解，∴y=sinx+

1

sinx

(0＜x＜

π

2

）大于2，但不能等于2，排除D
对于函数y=3^x+3^-x，令3^x=t，则t＞0，y=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，（当且仅当t=1，即x=0时取等号）
∴y=3^x+3^-x的最小值为2
故选C

点评：本题考察了均值定理求函数最值的方法，解题时要牢记口诀一“正”，二“定”，三“等号”，并用此口诀检验解题的正误