Question

设直线l与直线x-y-5=0之间的距离是3

2

，且直线l不过第四象限．
（1）求直线l的方程；
（2）若x、y满足直线l的方程，求d=

x2+y2+6x-10y+34

+

x2+y2-4x-30y+229

的最小值．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为x-y+c=0，利用直线l与直线x-y-5=0之间的距离是3

2

，即可求出直线的方程；
（2）由题设条件知，p=

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

可看作点A（-3，5）和B（2，15）到直线x-y+1=0，上的点的距离之和，作A（-3，5）关于直线x-y+1=0，对称的点A′（4，-2），则 dmin=|A′B|=

293

解答：解：（1）由已知，可设直线l的方程为x-y+c=0
∵直线l与直线x-y-5=0之间的距离是3

2

∴

|c+5|

2

=3

2

∴|c+5|=6
∴c=1或-11
∵直线l不过第四象限
∴c=1
∴直线l的方程为x-y+1=0；
（2）d=

x2+y2+6x-10y+34

+

x2+y2-4x-30y+229

=

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

可看作是直线x-y+1=0上的动点P（x，y）到定点A（-3，5）和B（2，15）的距离之和，
由于定点A（-3，5）和B（2，15）在直线x-y+1=0的同侧，可求A（-3，5）关于直线x-y+1=0对称的点A′，利用两边之和大于第三边，可知|A^′B|最小
求得A（-3，5）关于直线x-y+1=0对称的点A′（4，-2），则 dmin=|A′B|=

293

点评：本题以平行直线的距离为载体，考查直线方程，考查距离和的最小，解题的关键是将问题等价于直线x-y+1=0上的动点P（x，y）到定点A（-3，5）和B（2，15）的距离之和．