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已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OAl的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

 

(1) (2)不存在

【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为1(a>b>0),且可知左焦点为F′(2,0)

从而有解得

a2b2c2,所以b212,故椭圆C的方程为

(2)假设存在符合题意的直线l,由题知直线l的斜率与直线OA的斜率相等,故可设直线l的方程为yxt.3x23txt2120.

因为直线l与椭圆C有公共点,所以Δ(3t)24×3(t212)≥0,解得-4t≤4.

另一方面,由直线OAl的距离d4,可得4,从而t±2.由于±2[44],所以符合题意的直线l不存在.

 

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