【题目】已知数列{an},{bn}满足a1=2,b1=4,且 2bn=an+an+1 , an+12=bnbn+1 .
(Ⅰ)求 a 2 , a3 , a4 及b2 , b3 , b4;
(Ⅱ)猜想{an},{bn} 的通项公式,并证明你的结论;
(Ⅲ)证明:对所有的 n∈N* , … < < sin .
【答案】解:(I)令n=1得 ,解得 ,
令n=2得 ,解得 ,
令n=3得 ,解得 .
(II)猜想:an=n(n+1),bn=(n+1)2.
证明:当n=1时,猜想显然成立,
假设n=k(k≥1)猜想成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,
∵2bk=ak+ak+1,∴ak+1=2bk﹣ak=2(k+1)2﹣k(k+1)=(k+1)(k+2),
∵ak+12=bkbk+1,∴bk+1= =(k+2)2,
∴当n=k+1时,猜想成立,
∴an=n(n+1),bn=(n+1)2,n∈N+.
(III)证明:由(II)可知 = ,
于是原不等式等价于 … < < sin ,
(i)先证 … < ,
∵4n2﹣1<4n2,∴(2n+1)(2n﹣1)<4n2,
∴(2n﹣1)2(2n+1)<4n2(2n﹣1),
即( )2< ,即 < ,
∴ … < … = ,
(ii)再证 < sin .
令 =x,则0<x≤ < ,
设f(x)=x﹣ sinx,则f′(x)=1﹣ cosx<0,
∴f(x)在(0, )上单调递减,
∴f(x)<f(0)=0,即x sinx,
∴ < sin .
综上,对所有的 n∈N*, … < < sin .
【解析】(I)利用特值法分别令n=1,n=2,n=3代入,即可求的答案;
(Ⅱ)猜想:an=n(n+1),bn=(n+1)2.利用数学归纳法证明猜想;
(III)由(II)得到证明的猜想可知,。用不等式的放缩即可证明。
【考点精析】认真审题,首先需要了解归纳推理(根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳理).
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【题目】设集合M={x||x|<1},N={y|y=2x , x∈M},则集合R(M∩N)等于( )
A.(﹣∞, ]
B.( ,1)
C.(﹣∞, ]∪[1,+∞)
D.[1,+∞)
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【题目】x,y 满足约束条件 ,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 a 的值为( )
A. 或﹣1
B.2 或
C.2 或1
D.2 或﹣1
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【题目】已知函数上的一个最高点的坐标为,由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若.
(1)求的解析式.
(2)求在上的值域.
(3)若对任意实数,不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知△ABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos A=ccos B+bcos C.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若b2+c2=7,求△ABC的面积.
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【题目】已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)﹣ .
(Ⅰ)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)若f(x)存在两个极值点x1 , x2 , 且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.
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【题目】环境监测中心监测我市空气质量,每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制,保留一位小数).现随机抽取20天的指数(见下表),将指数不低于8.5视为当天空气质量优良.
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空气质量指数 | 7.1 | 8.3 | 7.3 | 9.5 | 8.6 | 7.7 | 8.7 | 8.8 | 8.7 | 9.1 |
天数 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空气质量指数 | 7.4 | 8.5 | 9.7 | 8.4 | 9.6 | 7.6 | 9.4 | 8.9 | 8.3 | 9.3 |
(Ⅰ)求从这20天随机抽取3天,至少有2天空气质量为优良的概率;
(Ⅱ)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多).若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数,用X表示抽到空气质量为优良的天数,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知数列{an},a1=2,a2=6,且满足=2(n≥2且n∈N+)
(1)证明:新数列{an+1-an}是等差数列,并求出an的通项公式
(2)令bn=,设数列{bn}的前n项和为Sn,证明:S2n-Sn<5
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