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4.已知f(x)=x2-6x+5.
(Ⅰ)求$f(-\sqrt{2}),f(a)+f(3)$的值;
(Ⅱ)若x∈[2,6],求f(x)的值域.

分析 (Ⅰ)利用二次函数的解析式,直接求$f(-\sqrt{2}),f(a)+f(3)$的值;
(Ⅱ)解法一:利用配方法f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,求出x-3整体的范围,然后求解函数的值域即可.
解法二:求出函数f(x)图象的对称轴利用函数的单调性求解函数的值域即可.

解答 (本小题满分10分)
解:(Ⅰ)$f(-\sqrt{2})={(-\sqrt{2})^2}-6(-\sqrt{2})+5=7+6\sqrt{2}$(2分)f(a)+f(3)=(a2-6a+5)+(32-6×3+5)=a2-6a+1(5分)
(Ⅱ)解法一:
因为f(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4(7分)
又因为x∈[2,6],所以-1≤x-3≤3,所以0≤(x-3)2≤9,(8分)
得-4≤(x-3)2-4≤5.(9分)
所以当x∈[2,6]时,f(x)的值域是[-4,5].(10分)
解法二:
因为函数f(x)图象的对称轴$x=-\frac{-6}{2×1}=3∈[2,6]$,(6分)
所以函数f(x)在区间[2,3]是减函数,在区间[3,6]是增函数.(7分)
所以x∈[2,6]时,$f{(x)_{min}}=f(3)={3^2}-6×3+5=-4$.(8分)
又因为f(2)=22-6×2+5=-3,f(6)=62-6×6+5=5(9分)
所以当x∈[2,6]时f(x)的值域是[-4,5].(10分)

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用,考查计算能力.

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