Question

已知函数f(x)=

x-a

x2+bx+1

为R上奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（3）当x∈[a，a+1]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知函数f(x)=

x-a

x2+bx+1

为R上奇函数，根据函数图象过原点，则f（-x）=-f（x）恒成立，可求a，b值；
（2）任取（0，1）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得到函数f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）根据（1），（2）的结论，易得函数f（x）在x=1时取最大值．

解答：解：（1）∵函数f(x)=

x-a

x2+bx+1

为R上奇函数
∴f（0）=0，即a=0
此时f(x)=

x

x2+bx+1

且f（-x）=-f（x）恒成立
即

x

x2+bx+1

+

-x

x2-bx+1

=0
解得b=0
（2）由（1）得f(x)=

x

x2+1

，在（0，1）上为增函数
理由如下：
任取（0，1）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
则f（x₁）-f（x₂）
=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1•(x22+1)-x2•(x12+1)

(x12+1)•(x22+1)

=

(x1-x2) •(1-x1•x2 )

(x12+1)•(x22+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
故f(x)=

x

x2+1

，在（0，1）上为增函数
（3）由（1）中a=0
∴当x∈[a，a+1]=[0，1]
由（2）中故f(x)=

x

x2+1

，在[0，1]上为增函数
可得当x=1时，函数f（x）取最大值

1

2

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，函数的最大值，其中根据奇函数的图象和性质，求出a，b的值，是解答本题的关键．