Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长与底面边长都等于1，A₁在底面ABC上的射影D为BC的中点，则侧棱AA₁与底面ABC所成角的大小为

 

，此三棱柱的体积为

 

．

Answer 1

分析：由题意可得A₁D⊥平面ABC 从而可得∠A₁AD即为直线与平面所成的角在Rt△A₁AD中cos∠A1AD= 

AD

AA1

，从而可求；而S△ABC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，棱柱的高AD=

1

2

，代入柱体体积公式可求

解答：解：由题意可得A₁D⊥平面ABC∴∠A₁AD即为直线与平面所成的角
在Rt△A₁AD中，AA₁=1，AD=

3

2

，A1D=

1

2

∴cos∠A1AD= 

AD

AA1

=

3

2

∴∠A1AD=

π

6

即直线AA₁与平面ABC所成的角为

π

6

∵S△ABC=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∴VABC-A1B1C1=

3

4

×

1

2

=

3

8

故答案为：

π

6

，  

3

8

．

点评：直线与平面所成的角的求解是立体几何中最基本的试题类型，解决的关键是先找出已知平面的垂线，然后找出所要求解的角，进而在直角三角形中进行求解，而柱体体积公式的应用属于基础试题．