Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足 +x＜1，则下列结论正确的是（ ）
A.对于任意x∈R，f（x）＜0
B.对于任意x∈R，f（x）＞0
C.当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0
D.当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵ +x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0， ∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），
∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，
∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，
∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，
而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，
当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，
又f（x）是定义在R上的减函数，
∴x≤1时，f（x）＞0也成立，
∴f（x）＞0对任意x∈R成立，
故选：B．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．