Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对?∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三个不同的根，则a的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：根据定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，画出图形，根据方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三个不同的根，得到函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．

解答：解：因为 f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1）
即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）
f（x）是周期为2的偶函数，
当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²
图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线
∵方程f（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上恰有三个不同的根，
∴函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log_a（x+1），
如图要求g（2）＞f（2），可得
就必须有 log_a（2+1）＞f（2）=-2，
∴可得log_a3＞-2，∴3＞

1

a2

，解得-

3

3

＜a＜

3

3

，又a＞0，
∴0＜a＜

3

3

，
故选A．

点评：此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题．