Question

假设位于正四面体ABCD顶点处的一只小虫，沿着正四面体的棱随机地在顶点间爬行，记小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，如此一直爬下去，记第n（n∈N^*）次爬行小虫位于顶点A处的概率为p_n．
（1）求p₁，p₂，p₃的值，并写出p_n的表达式（不要求证明）；
（2）设，试求S_n（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据小虫沿棱从一个顶点爬到另一个顶点为一次爬行，小虫第一次爬行由A等可能地爬向B、C、D中的任意一点，每二次爬行又由其所在顶点等可能地爬向其它三点中的任意一点，可求出p₁，p₂，p₃的值，从而可猜想出p_n的表达式；
（2）根据p_n的表达式，利用分组求和法以及二项式定理的逆用、二项式系数的和从而可求出所求．
解答：解：（1）p₁=0，p₂=，p₃=（1-p₂）=，p₄=（1-p₃）=
猜想：p_n=[1-（-）^n-1]
（2）
=（++…+）+[（-）¹+（-）²+…（-）ⁿ]
=（+++…+）+[（-）+（-）¹+（-）²+…（-）ⁿ]
=•2ⁿ+（1-）ⁿ-1
=2^n-2+（）^n-1-1
点评：本题主要考查了等比数列的通项，以及二项式系数的性质，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．