Question

15．已知：如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是$\widehat{AB}$上的一点，求证：$\frac{PA+PC}{PB+PD}$=$\frac{PD}{PC}$．

Answer 1

分析 连接AC交DP于E，证明：$\frac{PC+PA}{PD}$=$\frac{AE+CE}{DC}$=$\frac{AC}{DC}$=$\sqrt{2}$，$\frac{PB+PD}{PC}$=$\sqrt{2}$，即可证明结论．

解答 证明：连接AC交DP于E
∵ABCD是正方形，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠APE=∠DPC，
∵∠PAE=∠PDC
∴△PAE∽△PDC
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{AE}{DC}$①
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠ECD=∠DPC
∵∠EDC=∠CDP
∴△EDC∽△CDP
∴$\frac{DC}{PD}$=$\frac{CE}{PC}$，
∴$\frac{PC}{PD}=\frac{CE}{DC}$②
①+②得：$\frac{PC+PA}{PD}$=$\frac{AE+CE}{DC}$=$\frac{AC}{DC}$=$\sqrt{2}$．
同理$\frac{PB+PD}{PC}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{PC+PA}{PD}$=$\frac{PB+PD}{PC}$，
∴$\frac{PA+PC}{PB+PD}$=$\frac{PD}{PC}$．

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．