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12.如图,所有棱长都为2的正三棱柱BCD-B'C'D',四边形ABCD是菱形,其中E为BD的中点.
(1)求证:平面BC'D∥面AB'D';
(2)求证:平面C'CE⊥平面AB'D'.

分析 (1)取B′D′的中点为F,连AF,C′F,由已知得AFC′E为平行四边形,通过线面平行证明平面BC′D∥面AB′D′.
(2)通过证明B'D'⊥平面C'CE,利用B'D'?平面AB'D',证明平面C'CE⊥平面AB'D'.

解答 证明:(1)如图,取B'D'的中点为F,连结AF,C'F,AE.则AFC'E为平行四边形,∴AF∥C'E,
又AF?面AB'D',C'E?平面AB'D',∴C'E∥面AB'D',
∵在三棱柱中,B'D'∥BD,BD?平面AB'D',B'D'?平面AB'D',
∴BD∥平面AB'D',
∵BD∩C'E=E,BD、C'E?平面BC'D,
∴平面BC'D∥平面AB'D'.
(2)∵在正三角形BCD中,E是BD中点,
∴CE⊥BD
又在正棱柱中BD∥B'D',CC'⊥平面B'C'D',∴B'D'⊥CE,B'D'⊥CC',
∵CC'∩CE=C,∴B'D'⊥平面C'CE,
∵B'D'?平面AB'D',∴平面C'CE⊥平面AB'D'.

点评 本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系,考查空间想象能力和逻辑推理能力.,属于中档题.

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