Question

已知圆C：x²+y²=9，点A（-5，0），直线l：x-2y=0．
（1）求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；
（2）在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有

PB

PA

为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求与直线l垂直的直线的斜率，可得其方程，利用相切求出结果．
（2）先设存在，利用都有

PB

PA

为一常数这一条件，以及P在圆上，列出关系，利用恒成立，可以求得结果．

解答：解：（1）设所求直线方程为y=-2x+b，即2x+y-b=0，∵直线与圆相切，
∴

|-b|

22+12

=3，得b=±3

5

，
∴所求直线方程为y=-2x±3

5

，
（2）方法1：假设存在这样的点B（t，0），
当P为圆C与x轴左交点（-3，0）时，

PB

PA

=

|t+3|

2

；
当P为圆C与x轴右交点（3，0）时，

PB

PA

=

|t-3|

8

，
依题意，

|t+3|

2

=

|t-3|

8

，解得，t=-5（舍去），或t=-

9

5

．
下面证明点B(-

9

5

，0)对于圆C上任一点P，都有

PB

PA

为一常数．
设P（x，y），则y²=9-x²，
∴

PB2

PA2

=

(x+ 9 5 )2+y2

(x+5)2+y2

=

x2+ 18 5 x+ 81 25 +9-x2

x2+10x+25+9-x2

=

18 25 (5x+17)

2(5x+17)

=

9

25

，
从而

PB

PA

=

3

5

为常数．
方法2：假设存在这样的点B（t，0），使得

PB

PA

为常数λ，则PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，将y²=9-x²代入得，
x²-2xt+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0对x∈[-3，3]恒成立，
∴

5λ2+t=0 34λ2-t2-9=0

，解得

λ= 3 5 t=- 9 5

或

λ=1 t=-5

（舍去），
所以存在点B(-

9

5

，0)对于圆C上任一点P，都有

PB

PA

为常数

3

5

．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，圆的切线方程，又是存在性和探究性问题，恒成立问题，考查计算能力．是难题．