Question

已知数列{a_n}满足2S_n=3a_n-n（n∈N^*）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由2S_n=3a_n-n（n∈N^*）．分别取n=1，2，3可得：2a₁=3a₁-1，2（a₁+a₂）=3a₂-2，2（a₁+a₂+a₃）=3a₃-3，解出即可．
（2）2S_n=3a_n-n（n∈N^*），当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-（n-1），相减化为a_n=3a_n-1+1，变形为an+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，利用等比数列的通项公式即可得出．
（3）

1

an

=

2

3n-1

，当n=1，2时，不等式成立；当n≥3时，

1

an

=

2

3n-1

＜

1

2n

．再利用等比数列的前n项和公式即可证明．

解答： （1）解：∵2S_n=3a_n-n（n∈N^*）．分别取n=1，2，3可得：2a₁=3a₁-1，2（a₁+a₂）=3a₂-2，2（a₁+a₂+a₃）=3a₃-3，
解得a₁=1，a₂=4，a₃=13．
（2）解：∵2S_n=3a_n-n（n∈N^*），当n≥2时，2S_n-1=3a_n-1-（n-1），∴2a_n=3a_n-3a_n-1-1，
化为a_n=3a_n-1+1，
变形为an+

1

2

=3(an-1+

1

2

)，
∴数列{an+

1

2

}是以3为公比，a1+

1

2

=

3

2

为首项的等比数列，
∴an+

1

2

=

3

2

×3n-1，
可得an=

3n-1

2

．
（3）证明：∵

1

an

=

2

3n-1

，
∴当n=1时，

1

a1

=1＜

3

2

，
当n=2时，

1

a1

+

1

a2

=1+

1

4

＜

3

2

．
当n≥3时，

1

an

=

2

3n-1

＜

1

2n

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1+

1

4

+

1 8 (1- 1 2n-2 )

1- 1 2

=1+

1

4

+

1

4

(1-

1

2n-2

)＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了“放缩法”证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．