Question

【题目】已知焦距为2 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）的右顶点为A，直线y= 与椭圆C交于P、Q两点（P在Q的左边），Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N．
（i）若直线l过原点且与坐标轴不重合，E是直线3x+3y﹣2=0上一点，且△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，求k的值
（ii）若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM，点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得2c=2 ，即c= ，

直线y= 代入椭圆方程可得 + =1，

解得x=±a ，

可得|AB|=a﹣a ，

由四边形ABPQ是平行四边形，

可得|AB|=|PQ|=2a ，

解得b= ，a= =2，

可得椭圆的方程为

（2）

解：（i）由直线y=kx代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2=4，

解得x=± ，

可设M（ ， ），

由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，

可设E（m， ﹣m），E到直线kx﹣y=0的距离为d= ，

即有OE⊥MN，|OM|=d，

即为 =﹣ ， = ，

由m= ，代入第二式，化简整理可得7k2﹣18k+8=0，

解得k=2或 ；

（ii）证明：由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），

代入椭圆方程可得，（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，

可得﹣2+xN=﹣ ，

解得xN= ，

yN=k（xN+2）= ，即N（ ， ），

设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），

以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，

可得AN⊥DG，

即有kANkDG=﹣1，

即为 =﹣1，

解得t=0．

故点G是定点，即为原点（0，0）

【解析】（1）由题意可得c= ，直线y= 代入椭圆方程，求得P，Q的横坐标，可得|AB|，由四边形ABPQ是平行四边形，可得|AB|=|PQ|，解方程可得b，由a，b，c的关系可得a，进而得到椭圆方程；（2）（i）由直线y=kx代入椭圆方程，求得M的坐标，由△EMN是以E为直角顶点的等腰直角三角形，可设E（m， ﹣m），求出E到直线kx﹣y=0的距离d，由题意可得OE⊥MN，|OM|=d，解方程可得k的值；（ii）由M（﹣2，0），可得直线MN的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，可得x的方程，运用韦达定理，可得N的坐标，设G（t，0），（t≠﹣2），由题意可得D（2，4k），A（2，0），以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，可得AN⊥DG，运用两直线垂直的条件，可得斜率之积为﹣1，解方程可得t=0，即可得到定点．