Question

已知不等式x²-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
（1）求t，m的值；
（2）若函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，求关于x的不等式log_a（-mx²+3x+2-t）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）由不等式与相应方程的关系得：1，m是方程x²-3x+t=0的两个根，再依据根与系数的关系即可求得t，m的值；
（2）根据函数f（x）=-x²+ax+4在区间（-∞，1]上递增，其图象的对称轴应在直线x=1的右侧，从而得到a的范围，再将原不等式利用对数函数的单调性去掉对数符号转化为整式不等式求解即可．

解答：解：（1）∵不等式x²-3x+t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}
∴

1+m=3 m=t

得

m=2 t=2

（2）∵f（x）=-(x-

a

2

)2+4+

a2

4

在（-∞，1]上递增，
∴

a

2

≥1，a≥2
又lo

g	(-mx2+3x+2-t) a

=lo

g	(-2x2+3x) a

＜0，
由a≥2，可知0＜-2x²+3x＜1
由2x²-3x＜0，得0＜x＜

3

2

由2x²-3x+1＞0得x＜

1

2

或x＞1
故原不等式的解集为{x|0＜x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

}

点评：本小题主要考查一元二次不等式与一元二次方程、对数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．