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【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;
(Ⅱ)求证:AC1∥平面B1CD

【答案】证明:(Ⅰ)在△ABC中,因为AB=5,AC=4,BC=3,
所以AC⊥BC.
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 所以,CC1⊥AC.
因为BC∩AC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.
所以AC⊥B1C.
(Ⅱ)连接BC1 , 交B1C于E.
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1
所以侧面BB1C1C为矩形,且E为B1C中点.
又D是AB中点,所以DE为△ABC1的中位线,所以DE∥AC1
因为DE平面B1CD,AC1平面B1CD,
所以,AC1∥平面B1CD.

【解析】(Ⅰ) 利用勾股定理可得AC⊥BC,由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC,从而得到AC⊥平面BB1C1C,进而得到AC⊥B1C.
(Ⅱ) 取B1C中点E,得到 DE为△ABC1的中位线,得到DE∥AC1 , 由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD.

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