【题目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥B1C;
(Ⅱ)求证:AC1∥平面B1CD
【答案】证明:(Ⅰ)在△ABC中,因为AB=5,AC=4,BC=3,
所以AC⊥BC.
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1 , 所以,CC1⊥AC.
因为BC∩AC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.
所以AC⊥B1C.
(Ⅱ)连接BC1 , 交B1C于E.
因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1 ,
所以侧面BB1C1C为矩形,且E为B1C中点.
又D是AB中点,所以DE为△ABC1的中位线,所以DE∥AC1 .
因为DE平面B1CD,AC1平面B1CD,
所以,AC1∥平面B1CD.
【解析】(Ⅰ) 利用勾股定理可得AC⊥BC,由直三棱柱的性质可得CC1⊥AC,从而得到AC⊥平面BB1C1C,进而得到AC⊥B1C.
(Ⅱ) 取B1C中点E,得到 DE为△ABC1的中位线,得到DE∥AC1 , 由线面平行的判定定理证得AC1∥平面B1CD.
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【题目】8人排成一排照相,分别求下列条件下的不同照相方式的种数.
(1)其中甲、乙相邻,丙、丁相邻;
(2)其中甲、乙不相邻,丙、丁不相邻;
(要求写出解答过程,并用数字作答)
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【题目】(本小题满分12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
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【题目】空间四边形PABC的各边及对角线长度都相等,D、E、F、G分别是AB、BC、CA、AP的中点,下列四个结论中成立的是
①BC∥平面PDF
②DF⊥平面PAE
③平面GDF∥平面PBC
④平面PAE⊥平面ABC.
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【题目】如图,在四棱锥中, 底面为菱形,平面,点在棱上.
(Ⅰ)求证:直线平面;
(Ⅱ)若平面,求证:;
(Ⅲ)是否存在点,使得四面体的体积等于四面体的体积的?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知两定点, 和一动点,给出下列结论:
①若,则点的轨迹是椭圆;
②若,则点的轨迹是双曲线;
③若,则点的轨迹是圆;
④若,则点的轨迹关于原点对称;
⑤若直线与斜率之积等于,则点的轨迹是椭圆(除长轴两端点).
其中正确的是__________(填序号).
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【题目】判断下列命题的真假,并说明理由.
(1)x∈R,都有x2-x+1>;
(2)α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β;
(3)x,y∈N,都有(x-y)∈N;
(4)x,y∈Z,使x+y=3.
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【题目】【广西南宁2017届高三检测】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图.
(1)已知、,三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求,的值;
(2)该电子商务平台将年龄在之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放80元的代金券,已经采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取了10人,现在要在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和的分布列与数学期望.
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