Question

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形．

(1)求证：AD⊥BC．

(2)求二面角B－AC－D的大小．

(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)方法一：如图所示，作AH⊥面BCD于H，连DH． 　　AB⊥BDHB⊥BD，又AD＝，BD＝1， 　　∴AB＝＝BC＝AC，∴BD⊥DC．又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH⊥BC． 　　∴AD⊥BC． 　　方法二：如上图所示，取BC的中点O，连AO、DO． 　　则有AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD． 　　∴BC⊥AD． 　　(2)BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，则∠BMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝，∴M是AC的中点，且MN∥CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cos∠BMN＝． 　　∴∠BMN＝arccos． 　　(3)设E是所求的点，作EF⊥CH于F，连FD．则EF∥AH，∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF＝30°．设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝，∴tan∠EDF＝，解得x＝，则CE＝x＝1． 　　故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角．

提示：

线线垂直线面垂直．