Question

【题目】已知f（x）=max{x2﹣ax+a，ax﹣a+1}，其中max{x，y}= ． （Ⅰ）若对任意x∈R，恒有f（x）=x2﹣ax+a，求实数a的值；
（Ⅱ）若a＞1，求f（x）的最小值m（a）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由对任意x∈R，恒有f（x）=x2﹣ax+a， ∴对 x∈R时，x2﹣ax+a≥ax﹣a+1恒成立，
即x2﹣2ax+2a﹣1≥0恒成立
∴△=4a2﹣4（2a﹣1）≤0，即（a﹣1）2≤0，
∴a=1，
实数a的值1；
（Ⅱ）若x2﹣2ax+a≥ax﹣a+1，则x2﹣2ax+2a﹣1≥0，即（x﹣1）[x﹣（2a﹣1）]≥0，
∵a＞1，
∴2a﹣1＞1，
∴不等式的解为：x≤1或x≥2a﹣1，
∴f（x）= ，
①当 ≤1，即1＜a≤2 时，f（x）在（﹣∞， ） 递减，在（ ，+∞）递增，
∴f（x）的最小值m（a）=f（ ）=﹣ +a，
②当 ＞1，即a＞2 时，f（x）在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递增
∴f（x）的最小值m（a）=f（1）=1，
∴m（a）=
【解析】（Ⅰ）由题意可知：对 x∈R时，x2﹣ax+a≥ax﹣a+1恒成立，整理可知：x2﹣2ax+2a﹣1≥0恒成立根据二次函数性质可知：△＜0，即可求得a的值；（Ⅱ）由当x2﹣2ax+a≥ax﹣a+1，即（x﹣1）[x﹣（2a﹣1）]≥0，由a＞1，则2a﹣1＞1，因此不等式的解为：x≤1或x≥2a﹣1，分类当 ≤1，即1＜a≤2 时及当 ＞1，即a＞2 时，根据函数的单调性即可求得f（x）的最小值m（a）的表达式．
【考点精析】关于本题考查的函数的最值及其几何意义和二次函数的性质，需要了解利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．