Question

已知椭圆c：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求|PF₂|+|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义和△AF₁F₂周长为6，建立关于a、b、c的方程组，解之得a=2、b=

3

且c=1，即可得到椭圆C的标准方程，用离心率的公式即可得到该椭圆的离心率；
（2）设直线AF₁的方程为y=

3

（x+1），求出原点O关于直线AF₁的对称点M的坐标为（-

3

2

，

3

2

），从而得到|PF₂|+|PM|的最小值为|MF₂|=

7

，再由MF₂的方程y=-

3

5

（x-1）与AF₁方程联解，即可得到此时点P的坐标．

解答：解：（1）由题意，得

a=2c a+a+2c=6 a2=b2+c2

，解之得a=2，b=

3

，c=1
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，离心率e=

1

2

；
（2）∵△AF₁F₂是正三角形，可得直线AF₁的斜率为k=tan

π

3

=

3

∴直线AF₁的方程为y=

3

（x+1）
设点O关于直线AF₁的对称点为M（m，n），则

n m • 3 =-1 n 2 = 3 ( m 2 +1)

，
解之得m=-

3

2

，n=

3

2

，可得M坐标为（-

3

2

，

3

2

），
∵|PO|=|PM|，|PF₂|+|PO|=|PF₂|+|PM|＞|MF₂|
∴|PF₂|+|PM|的最小值为|MF₂|=

(- 3 2 -1)2+( 3 2 -0)2

=

7

直线MF₂的方程为y=

3 2 -0

- 3 2 -1

（x-1），即y=-

3

5

（x-1）
由

y=- 3 5 (x-1) y= 3 (x+1)

解得

x=- 2 3 y= 3 3

，所以此时点P的坐标为（-

2

3

，

3

3

）．
综上所述，可得求|PF₂|+|PO|的最小值为

7

，此时点P的坐标为（-

2

3

，

3

3

）．

点评：本题在已知椭圆上顶点与焦距构成正三角形的周长情况下，求椭圆的标准方程并依此求一个距离和的最小值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质和运用对称解决距离之和最小值等知识，属于中档题．