Question

7．已知等比数列{a_n}公比为q，其前n项和为S_n，若S₃、S₉、S₆成等差数列，则q³等于（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． -$\frac{1}{2}$或1
• D． -1或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据等比数列的性质以及等差数列的关系进行求解即可．

解答 解：若S₃、S₉、S₆成等差数列，
则S₃+S₆=2S₉，
若公比q=1，
则S₃=3a₁，S₉=9a₁，S₆=6a₁，
即3a₁+6a₁=18a₁，则方程不成立，
即q≠1，
则$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}+\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{12}）}{1-q}$，
即1-q³+1-q⁶=2-2q⁹，
即q³+q⁶=2q⁹，
即1+q³=2q⁶，
即2（q³）²-q³-1=0，
解得q³=$-\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件结合等比数列的前n项和公式建立方程关系是解决本题的关键．