Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+c与y=x交于A，B两点且|AB|=3

2

，奇函数g(x)=

x2+c

x+d

，当x＞0时，f（x）与g（x）都在x=x₀取到最小值．
（1）求f（x），g（x）的解析式；
（2）若y=x与y=k+

1 2 f′(x)

图象恰有两个不同的交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由y=g(x)=

x2+c

x+d

是奇函数可得d=0，结合当x＞0时，f（x）与g（x）都在x=x₀取到最小值，可得b²=4c及（b-1）²-4c=9，解方程组求出各参数值后，可得f（x），g（x）的解析式；
（2）y=x与y=k+

1 2 f′(x)

，即x-k=

x-2

有两个不等的实根，即方程x²-（2k+1）x+k²+2=0（x≥2，x≥k）有两个不等的实根，分k≤2时和k＞2时两种情况讨论，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=g(x)=

x2+c

x+d

是奇函数，
由g（-x）=-g（x）得

x2+c

-x+d

=-

x2+c

x+d

解得d=0，
∴g(x)=x+

c

x

∵x＞0时g（x）有最小值．
∴c＞0，则g(x)=x+

c

x

≥2

c

，当且仅当：x=

c

取到最小值．
∴

c

=-

b

2

，即b²=4c
设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），|AB|=3

2

，则|x₁-x₂|=3
由x²+bx+c=x得：x²+（b-1）x+c=0
∴（b-1）²-4c=9解得：b=-4，c=4
∴f(x)=x2-4x+4，g(x)=

x2+4

x

…（6分）
（2）∵y=x与y=k+

1 2 f′(x)

，即x-k=

x-2

有两个不等的实根，
也即方程x²-（2k+1）x+k²+2=0（x≥2，x≥k）有两个不等的实根．
当k≤2时，有

△＞0 f(2)≥0 2k+1 2 ＞2

，
解得

7

4

＜k≤2．
当k＞2时，有

△＞0 f(k)≥0 2k+1 2 ＞k

，
不等式组无解．
综上所述，实数k的取值范围为k∈(

7

4

，2]．…（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对勾函数的图象和性质，函数的奇偶性，基本不等式，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．