Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由于以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可得b=c，(

2

b)2=8，a²=b²+c²即可得出．
（2）椭圆C的左准线方程为：x=-4．设直线l的方程为y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点G（x₀，y₀）．与椭圆的方程联立化为（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，由△＞0，解得-

2

2

＜k＜

2

2

．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得y₀，x₀≤0，可得点G不可能在y轴的右边．直线F₁B₂，F₁B₁的方程分别为y=x+2，y=-x-2，点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，解出即可．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的
正方形，
∴b=c，(

2

b)2=8，
∴b=c=2，a²=b²+c²=8．
∴

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）椭圆C的左准线方程为：x=-4．∴P（-4，0），设直线l的方程为
y=k（x+4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点G（x₀，y₀）．
由

y=k(x+4) x2+2y2=8

化为（1+2k²）x²+16k²x+32k²-8=0，①
由△=256k⁴-4（1+32k²）（32k²-8）＞0，解得-

2

2

＜k＜

2

2

．②．
∴x1+x2=

-16k2

1+2k2

．
∴x₀=

x1+x2

2

=-

8k2

1+2k2

，y₀=k（x₀+4）=

4k

1+2k2

．
∵x₀≤0，∴点G不可能在y轴的右边．
又直线F₁B₂，F₁B₁的方程分别为y=x+2，y=-x-2，
∴点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是

y0≤x0+2 y0≥-x0-2

，
即

4k 1+2k2 ≤- 8k2 1+2k2 +2 4k 1+2k2 ≥ 8k 1+2k2 -2

化为

2k2+2k-1≤0 2k2-2k-1≤0

，
解得-

3 -1

2

≤k≤

3 -1

2

，满足②．
因此直线l的斜率的取值范围是[-

3 -1

2

，

3 -1

2

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正方形的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．