Question

已知函数f(x)=

2-x

x-1

，g（x）=（x+1）³
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）写出函数f（x）的单调区间，并利用定义证明函数f（x）在区间（-3，+∞）上的单调性；
（3）判断f（x）-g（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（1）化简函数解析式为f(x)=

2-x

x-1

-1+

1

x-1

，故把函数y=

1

x

的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位，即可得到函数f（x）的图象，如图所示．
（2）函数f（x）的减区间为（-∞，1）、（1，+∞），用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间（-3，1）上是减函数，在（1，+∞）上是减函数．
（3）函数f（x）-g（x）的零点个数，即函数f（x）和函数g（x）=（x+1）³ 的图象交点的个数，在同一个坐标系中，画出函数函数f（x）和函数g（x）=
（x+1）³ 的图象，数形结合可得由于这2个函数的图象仅有2个交点，从而得出结论．

解答：解：（1）函数f(x)=

2-x

x-1

=-

(x-1)-1

x-1

=-1+

1

x-1

，故把函数y=

1

x

的图象向右平移1个单位，
再向下平移1个单位，即可得到函数f（x）的图象，如图所示：
（2）函数f（x）的减区间为（-∞，1）、（1，+∞）．
函数f（x）在区间（-3，1）上是减函数，在（1，+∞）上是减函数．
证明：设-3＜x₁＜x₂＜1，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

．
由题设可得 x₂-x₁＞0，x₁-1＜0，x₂-1＜0，∴

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＞0，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），故函数f（x）在区间（-3，1）上是减函数．
同理可证，函数f（x）在在（1，+∞）上是减函数．
（3）函数f（x）-g（x）的零点个数，即函数f（x）和函数g（x）=（x+1）³  的图象交点的个数，
在同一个坐标系中，画出函数函数f（x）和函数g（x）=（x+1）³ 的图象，如图所示，
由于这2个函数的图象仅有2个交点，故函数f（x）-g（x）的零点个数为2．

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，函数的图象特征，函数的零点与方程根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．