Question

设函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=2，b=-2，求函数f（x）的极值；
（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，试求出a关于b的关系式（即用a表示b），并确定f（x）的单调区间；（提示：应注意对a的取值范围进行讨论）
（3）在（2）的条件下，设a＞0，函数g（x）=（a²+14）e^x+4．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出导函数的根，判断根左右两边导函数的符号，得到函数的单调性，据极大值极小值的定义求出极值．
（2）据极值点处的导函数值为0得到a，b的关系；代入导函数中求出导函数的两根，讨论两根的大小；判断根左右两边导函数的符号，据导函数与单调性的关系求出单调区间．
（3）据函数的单调性求出两根函数的值域，求出函数值的最小距离，最小距离小于1求出a的范围
解答：解：（1）∵f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x
当a=2，b=-2时，f（x）=（x²+2x-2）e^x则f'（x）=（x²+4x）e^x
令f'（x）=0得（x²+4x）e^x=0，∵e^x≠0∴x²+4x=0，解得x₁=-4，x₂=0
∵当x∈（-∞，-4）时，f'（x）＞0，当x∈（-4，0）时f'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时f'（x）＞0
∴当x=-4时，函数f（x）有极大值，f（x）_极大=，
当x=0时，函数f（x）有极小值，f（x）_极小=-2．
（2）由（1）知f'（x）=[x²+（2+a）x+（a+b）]e^x
∵x=1是函数f（x）的一个极值点
∴f'（1）=0即e[1+（2+a）+（a+b）]=0，解得b=-3-2a
则f'（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]
令f'（x）=0，得x₁=1或x₂=-3-a
∵x=1是极值点，∴-3-a≠1，即a≠-4
当-3-a＞1即a＜-4时，由f'（x）＞0得x∈（-3-a，+∞）或x∈（-∞，1）
由f'（x）＜0得x∈（1，-3-a）
当-3-a＜1即a＞-4时，由f'（x）＞0得x∈（1，+∞）或x∈（-∞，-3-a）
由f'（x）＜0得x∈（-3-a，1）
综上可知：当a＜-4时，单调递增区间为（-∞，1）和（-3-a，+∞），递减区间为（1，-3-a）
当a＞-4时，单调递增区间为（-∞，-3-a）和（1，+∞），递减区间为（-3-a，1）
（3）由（2）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为f（1）=-（a+2）e
又∵f（0）=be^x=-（2a+3）＜0，f（4）=（2a+13）e⁴＞0，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的值域是[f（1），f（4）]，即[-（a+2）e，（2a+13）e⁴]
又g（x）=（a²+14）e^x+4在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[（a²+14）e⁴，（a²+14）e⁸]
∵（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴=（a²-2a+1）e⁴=（a-1）²e⁴≥0，
∴存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1
成立只须仅须（a²+14）e⁴-（2a+13）e⁴＜1．
点评：本题考查利用导函数研究函数的极值：极值点处的值为0；研究函数的单调性：导数大于0对应区间为单调递增区间，导数小于0对应区间为单调递减区间；将存在性问题转化成最值问题．