Question

如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，E为边BC上的动点．
（1）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF
（2）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°
（3）在（2）问的条件下，求P点到角AEF的距离．

Answer 1

分析：（1）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE，由线面垂直的定义可得出无论点E在边BC的何处两线都垂直．
（2）以A为坐标原点，AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题设知PD=2，AB=

3

，则P（0，0，1），D（

3

，0，0），设A（a，1，0），（0≤a≤

3

），故

PE

=(a，1，-1)，

PD

=(

3

，0，-1)，由向量法知BE=

3

-

2

时，二面角P-DE-A的大小为45°．
（3）当BE=

3

-

2

时，A（0，0，0），E（

3

-

2

，1，0），F（0，

1

2

，

1

2

），故

AE

=（

3

-

2

，1，0），

AF

=（0，

1

2

，

1

2

），由向量法能求出P点到面AEF的距离．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA．又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，
∴AF⊥BE．
又PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥PB，又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，∴AF⊥PE．
即不论点E在边BC上何处，都有PE⊥AF成立．
（2）解：以A为坐标原点，AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，
PD与平面ABCD所成角是30°，点F是PB的中点，E为边BC上的动点，
∴PD=2，AB=

3

，则P（0，0，1），D（

3

，0，0），设A（a，1，0），（0≤a≤

3

），
∴

PE

=(a，1，-1)，

PD

=(

3

，0，-1)，
设平南PDE的法向量

n1

=(x1，y1，z1)，
则

ax1+y1-z1=0 3 x1-z1=0

，
∴

n1

=(1，

3

-a，

3

)，
面ADE的法向量是

n

=(0，0，1)，
∵二面角P-DE-A的大小为45°
∴|cos＜

n

，

n1

＞|=|

3

4+( 3 -a)2

|=

2

2

，
解得a=

3

-

2

，或a=

3

+

2

（舍去）．
∴BE=

3

-

2

时，二面角P-DE-A的大小为45°．
（3）当BE=

3

-

2

时，
A（0，0，0），E（

3

-

2

，1，0），F（0，

1

2

，

1

2

），
∴

AE

=（

3

-

2

，1，0），

AF

=（0，

1

2

，

1

2

），
设面AEF的法向量

n2

=(x2，y2，z2)，
则

( 3 - 2 )x2+y2=0 1 2 y2 +  1 2 z2=0

，
∴

n2

=(1，

2

-

3

，

3

-

2

)，
∵

AP

=(0，0，1)，
∴P点到面AEF的距离d=

| AP • n2 |

| n2 |

=

3 - 2

11-4 6

=

3 - 2

2 2 - 3

=

6 -1

5

．

点评：本题考查无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF的证明，求当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°，求P点到角AEF的距离．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．