Question

12．已知直线y=1与曲线y=x²-|x|+a有四个交点．
（1）求证：f（x）=x²-|x|+a为偶函数．
（2）求当x≥0时，f（x）的解析式，并作出符合已知条件的函数f（x）图象．
（3）求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义即可证明，
（2）根据x≥0，得到函数f（x）的解析式，
（3）在同一坐标系中，作出y=1，y=x²-|x|+a，由图可知a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-|x|+a的定义域为R，
∴f（-x）=（-x）²-|-x|+a=x²-|x|+a=f（x），
∴f（x）为偶函数；
（2）当x≥0时，f（x）=x²-x+a，图象如图所示：
（3）如图，在同一坐标系中，作出y=1，y=x²-|x|+a，由图可知a必须满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{4a-1}{4}＜1}\end{array}\right.$，解得1＜a＜$\frac{5}{4}$，
故a的取值范围为（1，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了函数的图象的作法和函数图象的交点问题，属于中档题．