Question

12．在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得a_m+T=a_m对于任意的非零自然数 均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T 叫数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2），如果x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），当数列{x_n}的周期最小时，该数列前2012项的和是（　　）

• A． 670
• B． 671
• C． 1341
• D． 1342

Answer 1

分析 由x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），x₃=|x₂-x₁|=|1-a|．对进行分类讨论，得到当a=1时，数列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，它满足：x_m+3=x_m，即最小周期为3，它从第一项起，每三项之和为1+1+0=2，利用分组法即可得到结论．

解答 解：∵x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N^*），
且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），
∴x₃=|x₂-x₁|=|1-a|，
当a≥1时，有：x₃=a-1，
x₄=|x₃-x₂|=|（a-1）-a|=1=x₁，
x₅=|x₄-x₃|=|1-（a-1）|=|2-a|，
①当a≤2时，有：x₅=2-a
此时，若x₅=x₂，即：2-a=a，则：a=1
就有：x₁=x₄=1，x₂=x₅=1，x₃=0，
则数列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，
它满足：x_m+3=x_m，即最小周期为3
②当a＞2时，有：x₅=a-2，
此时，若x₅=x₂，即：a-2=a，显然是不可能的．
（2）当a＜1时，有：x₃=|x₂-x₁|=|a-1|=1-a，
x₄=|x₃-x₂|=|（1-a）-a|=|1-2a|
①当0＜a≤$\frac{1}{2}$时，有：x₄=1-2a，
x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|a|=a=x₂，
此时，若x₄=x₁，即：1-2a=1，则：a=0
与已知矛盾，不符合条件．
②当$\frac{1}{2}$＜a＜1时，有：x₄=2a-1，
x₅=|x₄-x₃|=|（2a-1）-（1-a）|=3|a-1|=3（1-a）
此时，若x₃=x₁，即：1-a=1，则a=0，这与a≠0相矛盾．
若x₄=x₁，即：2a-1=1，则a=1，这与a＜1相矛盾．
若x₅=x₁，那么即使其成立，其周期为4，也大于前面求出的最小周期3，也可以不考虑．
③当a＜0时，有：x₄=1-2a，
x₅=|x₄-x₃|=|（1-2a）-（1-a）|=|-a|=-a，
同样存在上述②的情况．
综上：当a=1时，数列{x_n}=1，1，0，1，1，0，1，1，0…，
它满足：x_m+3=x_m，即最小周期为3，
它从第一项起，每三项之和为1+1+0=2，则：2012=670×3+2，
∴数列的前2012项和S₂₀₁₂=670×2+2=1342．
故选：D．

点评 本题考查数列的递推公式的应用，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．解题时要多次进行分类讨论，容易出错．考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．