Question

已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设函数g(x)=

1

4

f(x)+ax3+

9

2

x2-b(x∈R)，其中a，b∈R.
（i）若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（ii）对于任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）f（x）为幂函数，在区间（0，+∞）上是单调增函数，故-m²+2m+3＞0，结合m∈Z，可解出m，再验证奇偶性即可．
（II）（i）函数g（x）仅在x=0处有极值，转化为g'（x）根的问题，考虑△
（ii）g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，只要g（x）max≤2，由（i）可知g（x）在x=2或x=-2处取最大值，只要满足

g(2)≤2 g(-2)≤2

即可，转化为a和b的不等式，再考虑对于任意的a∈[-1，1]恒成立即可．

解答：解：（I）∵f（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，
∴-m²+2m+3＞0即m²-2m-3＜0∴-1＜m＜3，
又∵m∈Z，∴m=0，1，2
而m=0，2时，f（x）=x³不是偶函数，m=1时，f（x）=x⁴是偶函数．
∴f（x）=x⁴
（II）（i）g'（x）=x（x²+3ax+9），显然x=0不是方程x²+3ax+9=0的根．
为使g（x）仅在x=0处有极值，
必须x²+3ax+9≥0恒成立，
即有△=9a²-36≤0．解不等式，
得a∈[-2，2]．这时，g（0）=-b是唯一极值．∴a∈[-2，2]．
（ii）由条件a∈[-1，1]，可知△=9a²-36＜0，从而x²+3ax+9＞0恒成立．
当x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0．
因此函数g（x）在[-2，2]上的最大值是g（2）与g（-2）两者中较大者．
为使对方任意的a∈[-1，1]，不等式g（x）≤2在[-2，2]上恒成立，
当且仅当

g(2)≤2 g(-2)≤2

，即

b≥20+8a b≥20-8a

，在a∈[-1，1]上恒成立．
所以b≥28，因此满足条件的b的取值范围是[28，+∞）．

点评：本题考查待定系数法求解析式、幂函数的单调性、奇偶性、函数的极值问题、不等式恒成立问题，综合性较强．