【题目】已知圆,点,点是圆上的一个动点,点分别在线段上,且满足,.
(1)求点的轨迹方程;
(2)过点作斜率为的直线与点的轨迹相交于两点,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
【答案】(1).(2)存在,取值范围是
【解析】
(1)由知为线段的中点, 由知, 故点为线段的垂直平分线上的一点,从而可得点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,由此可得其轨迹方程;
(2)点是椭圆的右焦点,设直线.与椭圆方程联立消去得一元二次方程,设,则,假设存在满足题意的点,则由对角线垂直即可把表示为的函数,结合不等式性质可得结论.
(1)由知为线段的中点, 由知, 故点为线段的垂直平分线上的一点,从而,则有,
∴点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆, ∵ ∴,∴点的轨迹方程是.
(2)由(1)知点是椭圆的右焦点,设直线.
由,消去并整理,得到.
设,则,从而
假设存在满足题意的点,则,
∵菱形的对角线互相垂直, ∴,
即
又 ∴
即
由,且, ,
故存在满足题意的点,且的取值范围是.
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【题目】为迎接2022年北京冬季奥运会,普及冬奥知识,某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动.现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生,将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组:,得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生,该学生的比赛成绩不低于80分”,估计的概率;
(Ⅲ)在抽取的100名学生中,规定:比赛成绩不低于80分为“优秀”,比赛成绩低于80分为“非优秀”.请在答题卡上将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”?
参考公式及数据:,.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】下面使用类比推理,得到的结论正确的是( )
A. 直线,若,则.类比推出:向量,,,若∥,∥,则∥.
B. 三角形的面积为,其中,,为三角形的边长,为三角形内切圆的半径,类比推出,可得出四面体的体积为,(,,,分别为四面体的四个面的面积,为四面体内切球的半径)
C. 同一平面内,直线,若,则.类比推出:空间中,直线,若,则.
D. 实数,若方程有实数根,则.类比推出:复数,若方程有实数根,则.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知点的极坐标为,求的值.
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【题目】四位数和互为反序的正整数,且,、分别有16个、12个正因数(包括1和本身),的质因数也是的质因数,但的质因数比的质因数少1个,求的所有可能值.
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【题目】已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为为参数,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
1求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
2设M是直线l上任意一点,过M做圆C切线,切点为A、B,求四边形AMBC面积的最小值.
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【题目】已知点,直线为平面内的动点,过点作直线的垂线,垂足为点,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线与分别交轨迹于四点.求的取值范围.
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【题目】某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是
A. 24B. 16C. 8D. 12
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