Question

已知二次函数f（x）=x²+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．
（1）求b的值；
（2）当x＞1时，求f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）对于（2）中的f^-1（x），如果f-1(x)＞m(m-

x

)在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由二次函数f（x）=x²+bx+1（b∈R）和f（-1）=f（3），解出b．
（2）由函数解析式解出自变量x，再把自变量和函数交换位置，即可得到反函数的解析式，
然后注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
（3）问题转化为（m+1）

x

＞（m+1）（m-1） 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，分类讨论，
当m＞-1时，有

x

＞m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，有

x

在此区间上的最小值大于m-1，
当m＜-1时，有

x

＜m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，有

x

在此区间上的最大值小于m-1，
当m=-1时，不满足条件．

解答：解：（1）∵二次函数f（x）=x²+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3），
∴1-b+1=9+3b+1，∴b=-2．
（2）∵f（x）=x²-2x  +1=（x-1）²，图象关于x=1对称，
∴当x＞1时，x-1=

f(x)

，∴f（x）的反函数f^-1（x）=

x

+1 （x≥0）．
（3）由题意知，

x

+1＞m（m-

x

）在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
即（m+1）

x

＞（m+1）（m-1） 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
 ①当m＞-1时，有

x

＞m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
∴

1

2

＞m-1，即 m＜

3

2

，
∴-1＜m＜

3

2

，
②当m＜-1时，有

x

＜m-1 在[

1

4

，

1

2

]上恒成立，
∴

2

2

＜m-1，即 m＞1+

2

2

（舍去）
③m=-1时，不满足条件．
综上，实数m的取值范围是-1＜m＜

3

2

．

点评：本题考查求函数的解析式、求一个函数的反函数的方法，以及函数的恒成立问题，体现分类讨论和等价转化的数学思想．