Question

设函数f（x）=x³-6x+5（x∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有三个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当x∈[2，+∞）时，不等式f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令其大于0（小于0），结合函数的定义域，可求函数的单调区间；
（2）转化为函数f（x）与直线y=a交点个数问题．
（3）f（x）≥k（x-1），即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．因为x≥2转化为k≤x²+x-5在x∈[2，+∞）上恒成立．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-6，令f′（x）=0，解得x₁=-

2

，x₂=

2

．
因为当x＞

2

或x＜-

2

时，f′（x）＞0；
当-

2

＜x＜

2

时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-

2

）和（

2

，+∞）；
单调减区间为（-

2

，

2

）．
当x=-

2

时，f（x）有极大值5+4

2

；  当x=

2

时，f（x）有极小值5-4

2

．
（2）由（1）的分析知y=f（x）的图象的大致形状及走向如图所示，当5-4

2

＜a＜5+4

2

时，
直线y=a与y=f（x）的图象有三个不同交点，即方程f（x）=a有三个不同的解．

（3）f（x）≥k（x-1），即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．
因为x≥2，所以k≤x²+x-5在x∈[2，+∞）上恒成立．
令g（x）=x²+x-5，此函数在[2，+∞）上是增函数．所以g（x）≥g（2）=1．
所以k的取值范围是k≤1．

点评：本题考查函数的单调性与极值，不等式恒成立，考查转化计算，数形结合，分离参数等的思想方法．