Question

已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x-2）对任意都成立，则实数a的取值范围为

1. A.
   [-2，0]
2. B.
   [-3，-1]
3. C.
   [-5，1]
4. D.
   [-2，1）

Answer 1

A
分析：由已知中定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，根据偶函数单调性的性质，我们可得f（x）在（-∞，0）上是减函数，进而可将f（ax+1）≤f（x-2）对任意都成立，转化为当时，-2≤ax≤0恒成立，解不等式即可得到答案．
解答：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
则f（x）在（-∞，0）上是减函数，
则f（x-2）在区间[，1]上的最小值为f（-1）=f（1）
若f（ax+1）≤f（x-2）对任意都成立，
当时，-1≤ax+1≤1，即-2≤ax≤0恒成立
则-2≤a≤0
故选A
点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件及偶函数在对称区间上单调性相反，得到函数的单调性是解答本题的关键．