(本题满分15分)
已知函数.
(Ⅰ)当时,试判断
的单调性并给予证明;
(Ⅱ)若有两个极值点
.
(i) 求实数a的取值范围;
(ii)证明:。 (注:
是自然对数的底数)
(1)在R上单调递减 (2)
,对于函数中不等式的证明,一般要功过构造函数来结合函数的最值来证明不等式的成立。
【解析】
试题分析:解:(1)当时,
,
在R上单调递减 …………1分
,只要证明
恒成立,
…………………………2分
设,则
,
当时,
,
当时,
,当
时,
………………4分
,故
恒成立
所以在R上单调递减
……………………6分
(2)(i)若有两个极值点
,则
是方程
的两个根,
故方程有两个根
,
又显然不是该方程的根,所以方程
有两个根,
…………8分
设,得
若时,
且
,
单调递减
若时,
时
,
单调递减
时
,
单调递增
……………………………10分
要使方程有两个根,需
,故
且
故的取值范围为
……………………………………12分
法二:设,则
是方程
的两个根,
则,
当时,
恒成立,
单调递减,方程
不可能有两个根
所以,由
,得
,
当时,
,当
时,
,得
(ii) 由,得:
,故
,
,
………………14分
设,则
,
上单调递减
故,即
………………………………15分
考点:本试题考查了导数的运用。
点评:利用导数求解函数的单调性和求解函数的极值和最值,这是导数作为工具性的一个重要的体现。同时对于含有参数的导数的单调性的判定要学会结合导数的正负来求解单调增减区间,同时利用导数在某点处的正负来判定极值,而运用导数证明不等式,一般构造函数来证明。属于难度题。
科目:高中数学 来源:2010-2011年江苏省如皋市五校高二下学期期中考试理科数学 题型:解答题
((本题满分15分)
某有奖销售将商品的售价提高120元后允许顾客有3次抽奖的机会,每次抽奖的方法是在已经设置并打开了程序的电脑上按“Enter”键,电脑将随机产生一个 1~6的整数数作为号码,若该号码是3的倍数则顾客获奖,每次中奖的奖金为100元,运用所学的知识说明这样的活动对商家是否有利。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省招生适应性考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本题满分15分)设函数.
(Ⅰ)若函数在
上单调递增,在
上单调递减,求实数
的最大值;
(Ⅱ)若对任意的
,
都成立,求实数
的取值范围.
注:为自然对数的底数.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期初摸底文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知直线与曲线
相切
1)求b的值;
2)若方程在
上恰有两个不等的实数根
,求
①m的取值范围;
②比较的大小
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省温州市十校联合体高三上学期期中考试文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)已知抛物线:
(
),焦点为
,直线
交抛物线
于
、
两点,
是线段
的中点,
过作
轴的垂线交抛物线
于点
,
(1)若抛物线上有一点
到焦点
的距离为
,求此时
的值;
(2)是否存在实数,使
是以
为直角顶点的直角三角形?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省六校高三第一次联考文科数学 题型:解答题
(本题满分15分)
已知函数
(1)求的单调区间;
(2)设,若
在
上不单调且仅在
处取得最大值,求
的取值范围.
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