Question

【题目】已知椭圆C：的离心率为，右焦点到直线：的距离为．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ过椭圆右焦点斜率为的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线于点M，N，线段MN的中点为P，记直线的斜率为，求证：为定值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）证明见解析.

【解析】

试题（1）根据离心率为，可得之间的关系，再右焦点到直线的距离为，就可求出的值，从而求出的值（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，， 2分

所以，，所求椭圆方程为． 4分

（Ⅱ）设过点的直线方程为：，

设点，点， 5分

将直线方程代入椭圆，

整理得：6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，

且7分

直线的方程为：，直线的方程为：

令，得点，，所以点的坐标， 9分

直线的斜率为

， 11分

将代入上式得：

，

所以为定值． 13