Question

【题目】已知函数，，其中．

（Ⅰ）若函数在区间（1，e）存在零点，求实数a的取值范围；　

（Ⅱ）若对任意的，都有≥成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ），求导可得的单调性，结合零点存在性定理即可求解。

（Ⅱ）任意的，都有≥成立，等价于对任意的都

有≥．分别求出和即可求解。

（Ⅰ）解：，其定义域为，

∵＜0，∴在区间（0，）上单调递减．

要使函数在区间（1，e）内存在零点，当且仅当

所以实数a的取值范围为（0，）．　　　

（Ⅱ）解：对任意的都有≥成立等价于对任意的都

有≥．

当 ［1，］时，．∴函数在上是增函数．

∴．

∵，．

∴当时，＜0，当时，＞0，

∴在（0，a）上单调递减，在（a，）单调递增．

① 当时，∴函数在［1，］上是增函数，∴．

由≥，得≥，又，∴ ，不合题意．

② 当1≤≤时，∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴．

由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．

③ 当，∴函数在上是减函数．∴.

由≥，得≥，又，∴．

综上所述，的取值范围为．