Question

【题目】已知，．

⑴求的解析式；

⑵求时，的值域；

⑶设，若对任意的，总有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)（2）（3）

【解析】

试题(1)由题已知，求，可利用换元法，即：，，将条件中的，换为得：，求出

（2）由（1）得，可继续换元，

得：，需对进行分类讨论，而化为熟悉的二次函数的

值域问题解决.

（3）由恒成立，可转化为在满足，则需对的单调性进行分析，由，采用换元法，得：

，由，借助函数的单调性，对进行分类讨论，分别得出的取值范围，取各种情况的并集，得出结果.

试题解析：⑴设，则，所以，

所以；

⑵设，则

当时，，的值域为

当时，

若，，的值域为

若，，在上单调递增，在上单调递减，

的值域为

综上，当时的值域为，当时的值域为；

⑶因为对任意总有

所以在满足

设，则，

当即时在区间单调递增

所以，即，所以(舍)

当时，，不符合题意

当时， 若即时，在区间单调递增

所以，则

若即时在递增，在递减

所以，得

若即时在区间单调递减

所以，即，得

综上所述：.