Question

在数列{a_n}中，a₁=6，且a_n-a_n-1=

an-1

n

+n+1（n∈N^*，n≥2），
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）分别取n=2，3，4即可得出；
（2）由（1）猜想a_n=（n+1）（n+2），再利用数学归纳法证明即可．

解答：解：（1）n=2时，a₂-a₁=

a1

2

+1+1，∴a₂=12．
同理可得a₃=20，a₄=30．
（2）猜测a_n=（n+1）（n+2）．下用数学归纳法证明：
①当n=1，2，3，4时，显然成立；
②假设当n=k（k≥4，k∈N^*）时成立，即有a_k=（k+1）（k+2），则当n=k+1时，
由且a_n-a_n-1=

an-1

n

+n+1，得an=

n+1

n

an-1+n+1，
故ak+1=

k+1+1

k+1

ak+k+1+1=

k+2

k+1

(k+1)(k+2)+k+2=（k+2）（k+3），
故n=k+1时等式成立；
由①②可知：a_n=（n+1）（n+2）对一切n∈N^*均成立．

点评：本题考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，属于难题．