Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，，平面PAB，，E为线段PB的中点

（1）证明：平面PDC；

（2）求直线DE与平面PDC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）利用平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行。

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用法向量求解。

证明：（1）如图所示，取PC的中点F，连接DF，EF，因为E为线段PB的中点，

∴，且，

∵，∴

∴四边形EFDA为平行四边形

∴，又平面PDC，平面PDC，

∴平面PDC

（2）（方法一）∵，平面PAB，平面PAB，

由题意知为等边三角形，

以A为坐标原点，如图建系

，，，，，，

，，

设平面PDC的法向量为，则

令，则

设直线DE与平面PDC所成角为，

即直线DE与平面PDC所成角的正弦值为

（方法二）∵为等边三角形，E为线段PB的中点，∴

∵平面PAB，∴，，平面PBC，

∵，平面PBC，

平面PDC，平面平面PBC

过E点作于H，连接DH，则平面PDC，

∴即为直线DE与平面PDC所成角，易得，，

在中，

∴直线DE与平面PDC所成角的正弦值为