【题目】已知椭圆过点,其离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与相交于两点,在轴上是否存在点,使为正三角形,若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:利用离心率可以得出的关系,化为的关系,再利用椭圆过点满足椭圆方程,列出的方程,借助解出,写出椭圆E的方程,联立方程组,化为关于的一元二次方程,利用设而不求思想,借助根与系数关系,利用弦长公式求出,写出AB中点P的坐标,利用,解出m,写出直线的方程.
试题解析:
(1)由,和过点,可求得a,b,c,和椭圆标准方程。(2)由(1)可知椭圆方程,直线代入椭圆方程,消y得,由韦达定理和弦长公式表示出|AB|,再由韦达定理和C点(由AB的垂直平分线方程中令x=0求得)到直线距离求得d,然后令,解出m,再检验判别式,可解。
试题解析:(1)由已知得,解得.
椭圆的方程为.
(2)把代入的方程得,
设,则,
,
设的中点为,则
,令,则,
由题意可知,
,解得.符合,
直线的方程为.
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【题目】在调查中学生是否抽过烟的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的身份证号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你抽过烟吗?”然后要求被调查的中学生掷一枚质地均匀的骰子一次,如果出现奇数点,就回答第一个问题,否则回答第二个问题,由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题,如我们把这种方法用于300个被调查的中学生,得到80个“是”的回答,则这群人中抽过烟的百分率大约为 .
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【题目】如图,矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直,E是QD的中点. (Ⅰ)求证:QB∥平面AEC;
(Ⅱ)求证:平面QDC⊥平面AEC;
(Ⅲ)若AB=1,AD=2,求多面体ABCEQ的体积.
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【题目】假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计数据(xi , yi)(i=1,2,3,4,5)由资料知y对x呈线性相关,并且统计的五组数据得平均值分别为 , ,若用五组数据得到的线性回归方程 =bx+a去估计,使用8年的维修费用比使用7年的维修费用多1.1万元,
(1)求回归直线方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知直线l经过直线2x+y+5=0与x﹣2y=0的交点,圆C1:x2+y2﹣2x﹣2y﹣4=0与圆C2:x2+y2+6x+2y﹣6=0相较于A、B两点.
(1)若点P(5,0)到直线l的距离为4,求l的直线方程;
(2)若直线l与直线AB垂直,求直线l方程.
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【题目】已知椭圆短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内切圆方程为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,直线与抛物线交于两点,且,求的面积的最大值.
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