Question

如图，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M式A₁B₁的中点．
（I）求证B1C∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

Answer 1

【答案】分析：由题可知，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，要证B1C∥平面AC₁M，利用线线平行，要求sinθ利用平面法向量，求解即可．
解答：解：（Ⅰ）由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC为直三棱柱，
侧棱长为2，底面为等腰直角三角形，AC=BC=1如图建立空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），C₁（0，0，2），A（1，0，0），B₁（0，1，2），
A₁（1，0，2），∵M为A₁B₁为中点，∴

∴∥面AC₁M，又因为CB₁?面AC₁M
∴CB₁∥面AC₁M
（Ⅱ）设平面AC₁M的一个法向量为，

令z=1，则x=2，y=-2，∴
又
则=
点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对空间直角坐标系的使用，是中档题．