Question

19．已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，点P为AA₁的中点．
（1）求证：AB₁⊥平面PBC；
（2）在BC上找一点Q，使得PQ∥平面CDD₁C₁，并求三棱锥P-QBB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由AA₁⊥底面ABCD，可得AA₁⊥BC，结合ABCD为正方形，可得AB₁⊥BC，再由△ABP≌△A₁AB₁，得AB₁⊥BP，然后利用线面垂直的判定可得AB₁⊥平面PBC；
（2）取DD₁中点M，连接PM，CM，在BC上取点Q，使CQ=PM=3，则CQ∥PM，得到四边形PQCM为平行四边形，则PQ∥CM，从而得到PQ∥面CC₁D₁D．然后求出${S}_{△PB{B}_{1}}={S}_{梯形AB{B}_{1}{A}_{1}}-{S}_{△P{A}_{1}{B}_{1}}-{S}_{△PAB}$，利用${V}_{P-QB{B}_{1}}={V}_{Q-PB{B}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{PB{B}_{1}}•BQ$求得三棱锥P-QBB₁的体积．

解答 （1）证明：∵AA₁⊥底面ABCD，BC?面ABCD，∴AA₁⊥BC，
∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，则BC⊥面AA₁B₁B，
∵AB₁?面AA₁B₁B，∴AB₁⊥BC，
∵A₁B₁=AP=2，A₁A=AB=4，∠B₁A₁A=∠PAB=90°，
∴△ABP≌△A₁AB₁，可得AB₁⊥BP．
∵BP∩BC=B，∴AB₁⊥平面PBC；
（2）解：取DD₁中点M，连接PM，CM，在BC上取点Q，使CQ=PM=3，则CQ∥PM，
∴四边形PQCM为平行四边形，得PQ∥CM．
∴PQ∥面CC₁D₁D．
∵PQCM为平行四边形，∴$CQ=PM=\frac{1}{2}$（A₁D₁+AD）=3，则BQ=1．
又${S}_{△PB{B}_{1}}={S}_{梯形AB{B}_{1}{A}_{1}}-{S}_{△P{A}_{1}{B}_{1}}-{S}_{△PAB}$
=$\frac{1}{2}（2+4）×4-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×2×4=6$．
∴${V}_{P-QB{B}_{1}}={V}_{Q-PB{B}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{PB{B}_{1}}•BQ$=$\frac{1}{3}×6×1=2$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．