【题目】男女共名同学从左至右排成一排合影,要求左端排男同学,右端排女同学,且女同学至多有人排在一起,则不同的排法种数为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列.
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【题目】已知函数 的定义域为 ,若对于任意的 , ,都有 ,且当 时,有 .
(1)证明: 为奇函数;
(2)判断 在 上的单调性,并证明;
(3)设 ,若 ( 且 )对 恒成立,求实数 的取值范围.
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【题目】【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲]
如图, 分别与圆相切于点, , 经过圆心,且,求证: .
B.[选修4-2:矩阵与变换]
在平面直角坐标系中,已知点, , , ,先将正方形绕原点逆时针旋转,再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变,求连续两次变换所对应的矩阵.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数).现以为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求曲线的极坐标方程.
D.[选修4-5:不等式选讲]
已知为互不相等的正实数,求证: .
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【题目】某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家,现对两个区域的16个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.
(1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高;
(2)规定85分以上(含85分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超过5分的概率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆的直角坐标方程为,直线的参数方程为(为参数),射线的极坐标方程为.
(1)求圆和直线的极坐标方程;
(2)已知射线与圆的交点为,与直线的交点为,求线段的长.
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【题目】祖暅(公元前5-6世纪),祖冲之之子,是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理:“幂势既同,則积不容异. ”这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现,比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为,高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面,可以证明知总成立. 据此,短轴长为,长轴为的椭球体的体积是 __________.
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【题目】已知抛物线: ,定点(常数)的直线与曲线相交于、两点.
(1)若点的坐标为,求证:
(2)若,以为直径的圆的位置是否恒过一定点?若存在,求出这个定点,若不存在,请说明理由.
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