Question

14．已知：如图①，直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止，如图②）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x-k）²+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG，设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒，运动时间为t秒．

（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；
（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？
（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函数y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的长；
（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，若四边形ADEF为菱形，则DE=AD=t，由DE=2DO列式求得t值；
（3）当△ADF是直角三角形时，有两种情况，需分类讨论，①若∠ADF=90°时，如图，则有DF∥OB．然后由图形列式求出t值，再求出G的坐标，利用待定系数法求出直线BG的方程，求出点M的坐标，再利用顶点式求出抛物线的解析式；
②若∠AFD=90°，采用①的思路进行求解．

解答 解：（1）在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，分别令x=0、y=0求得A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan$∠OAB=\sqrt{3}$，则∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2，
∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°，
∴EF=$\frac{BE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=t$，
BF=2EF=2t，EF=t，AF=AB-BF=2-2t（0≤t≤1）；
（2）在Rt△DOE中，EO=$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，DO=1-t，
∴DE═$\sqrt{E{O}^{2}+D{O}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}-\sqrt{3}t）^{2}+（1-t）^{2}}=2（1-t）$，
∵EF=t，AD=t，EG∥OA，∴四边形ADEF为平行四边形．
若四边形ADEF为菱形，则有AD=DE，∴t=2（1-t），
解之得t=$\frac{2}{3}$，即当t=$\frac{2}{3}$时四边形ADEF为菱形；
（3）①当∠ADF=90°时，如图，则有DF∥OB．
∴$\frac{DF}{OB}=\frac{AD}{AO}$，即$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=\frac{t}{1}$，
∴t=$\frac{1}{2}$，
又由对称性可知EG=2AO=2，
∴B（0，$\sqrt{3}$），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设直线BG的解析式为y=kx+b，把B、G两点的坐标代入有：
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=b}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{k=-\frac{\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$．
∴$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}x+\sqrt{3}$，
令x=1，则y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，∴M（1，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
设所求抛物线的解析式为$y=a（x-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，又E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=a（0-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解之得$a=-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故所求解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②当∠AFD=90°时，如图，
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
由AD=t，∴AF=$\frac{1}{2}$t，
由（1）有AF=2-2t，
∴$\frac{1}{2}t=2-2t$，解得：t=$\frac{4}{5}$．
∴B（$0，\sqrt{3}$），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），G（2，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），
设直线BG的解析式为y=mx+n，把B、G两点的坐标代入有：
$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{3}}\\{2m+n=\frac{\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{3}}\\{m=-\frac{2\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$．
∴$y=-\frac{2\sqrt{3}}{5}x+\sqrt{3}$．
令x=1，则y=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，∴M（1，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．
设所求抛物线的解析式为$y=a（x-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{5}$．
又E（0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），∴$\frac{\sqrt{3}}{5}=a（0-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{5}$，解得a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
故所求解析式为$y=-\frac{2\sqrt{3}}{5}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{5}x+\frac{\sqrt{3}}{5}$．
综上所求函数的解析式为：$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$或$y=-\frac{2\sqrt{3}}{5}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{5}x+\frac{\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查二次函数的性质，考查直线与抛物线的位置关系，训练了利用待定系数法求解函数解析式，注意（3）中的分类讨论，是中档题．