Question

设f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=

x(2-x)，0≤x≤2 (x-2)(x-a)，x＞2

（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）设函数在区间[-4，4]上的最大值为g（a）的表达式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设-3≤x＜0、x＜-3，利用已知函数的解析式，即可求得结论；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；

解答： 解：（1）令x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=

-x(x+2)，-2≤x＜0 (x+2)(x+a)，x＜-2

，
∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=

-x(x+2)，-2≤x＜0 (x+2)(x+a)，x＜-2

，
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-4，4]上的最大值即为它在区间[0，4]上的最大值，
而函数f（x）恒过点（2，0），
当a≤2时，f（x）在[0，1]和[2，4]上单调递增，在[1，2]上单调递减，如图所示
故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8-2a，
当f（4）≥f（1）时，即8-2a≥1时，解得a≤

7

2

，函数的最大值为f（4），
当a＞2时，f（x）在[0，1]和[

a+2

2

，4]上单调递增，在[1，

a+2

2

]上单调递减，如图所示
故x∈[0，2]上的最大值为f（1）=1，在（2，4]上的最大值为f（4）=8-2a，
当f（4）≥f（1）时，即8-2a≥1时，解得2＜a≤

7

2

，函数的最大值为f（4），
当f（4）＜f（1）时，即8-2a＜1时，解得a＞

7

2

，函数的最大值为f（1），
综上所述g（a）=

8-2a，a≤ 7 2 1，a＞ 7 2

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．